对称矩阵

Symmetric Matrices
在线性代数的理论和应用中具有很重要的地位,最为重要的一类矩阵

由对称矩阵和标准正交矩阵的性质知道： $S = S^{T}, Q^{T} = Q^{- 1}$
$Λ$ ：特征值为实数的对角阵
$Q$ ：特征向量为标准正交基的矩阵

则对称矩阵矩阵可以对角化分解为

\begin{array}{r} S = Q Λ Q^{- 1} = Q Λ Q^{T} \end{array}

\begin{aligned} S & = Q Λ Q^{T} = (\begin{array}{c} q_{1} & \dots & q_{n} \end{array}) (\begin{array}{c} λ_{1} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array}) (\begin{array}{c} q_{1}^{T} \\ ⋮ \\ q_{n}^{T} \end{array}) \\ = λ_{1} q_{1} q_{1}^{T} + \dots + λ_{n} q_{n} q_{n}^{T} \end{aligned}

\begin{array}{r} S q_{i} = (λ_{1} q_{1} q_{1}^{T} + \dots + λ_{n} q_{n} q_{n}^{T}) q_{i} = λ_{i} q_{i} \end{array}

非对称阵如果特征值为特征方程的重根，则不一定有完全线性独立的特征向量，也就是说不一定可以对角化,但是对称矩阵一定可以对角化

与二次型紧密相关

希尔维斯特判据：
正定：矩阵的各阶主子式均大于零

正定矩阵 Positive Definite Matrix
正定矩阵是对称矩阵的一个特例，具有一些良好的性质，使得它在理论和实际问题中都非常有用。
特征值全为正数的对称矩阵(all $λ > 0$ )

半正定矩阵 PSD Positive Semidefinite Matrix
正定矩阵概念的扩展。

负定矩阵

半负定矩阵

检验是否有最小值